Порядок действий в Математике

Основные операции в математике

Основные операции, используемые в математике, — это сложение, вычитание, умножение и деление. Помимо этих операций, существуют также операции отношения, такие как равно (=), больше (>), меньше (<), больше или равно (≥), меньше или равно (≤), не равно (≠).

Операции действия:

• сложение (+)
• вычитание (-)
• умножение (*)
• разделение (:)

Операции взаимоотношений:

• равно (=)
• больше (>)
• минус (<)
• больше или равно (≥)
• меньше или равно (≤)
• не равно (≠)

Сложение — это операция, позволяющая объединить два термина.

• Дополнительная запись: 5 + 1 = 6, где 5 и 1 — члены, 6 — сумма.

Вычитание противоположно сложению.

• Обозначение вычитания: 10 — 1 = 9, где 10 — убывающая, 1 — вычитаемая, 9 — разница.

Если разница равна 9, сложите с вычтенным 1, так что вы получите 10 в порядке убывания. Операция сложения 9 + 1 = 10 — это контрольная проверка вычитания 10 — 1 = 9.

Умножение — это арифметическая операция в виде краткого обозначения суммы одинаковых членов.

• Запись: 3 * 4 = 12, где 3 — множитель, 4 — множитель, 12 — произведение.
• 3 * 4 = 3 + 3 + 3 + 3

Если множитель и множитель меняются местами, произведение остается прежним. Например: 5 * 2 = 5 + 5 = 10.

Следовательно, и фактор, и множитель называются факторами.

Деление — это обратное умножение.

• Запись: 30: 6 = 5 или 30/6 = 5, где 30 — делимое, 6 — делитель, 5 — частное.

В этом случае произведение делителя 6 и частного 5 в качестве теста дает дивиденд 30.

Если в результате операции деления частное не является целым числом, то его можно представить в виде дроби.

Возведение в степень — это операция умножения числа на само себя несколько раз.

В основе мощности лежит число, которое повторяется определенное количество раз.

Показатель степени — это число, указывающее, сколько раз используется один и тот же множитель.

Степень — это число, которое получается в результате взаимодействия основания и показателя степени.

• Запись: 34 = 81, где 3 — основание степени, 4 — показатель степени, 81 — степень.
• 3 ^ 4 = 3 * 3 * 3 * 3

Вторая степень называется квадратом, третья — кубом. Первая степень числа называется самим числом.

Извлечение корня противоположно возведению в степень.

• Запись: 4√81 = 3, где 81 — число корня, 4 — показатель степени корня, 3 — корень.
• З ^ 4 = 81 — возведение числа 3 в четвертую степень дает 81 (проверка извлечения корня).
• 2√16 = 4 — корень второй степени называется квадратом.

При использовании знака квадратного корня показатель степени корня обычно опускается: √16 = 4.

3√8 = 2 — корень третьей степени называется кубическим.

Сложение и вычитание, умножение и деление, возведение в степень и извлечение корня — это попарно обратные действия. Далее узнаем порядок выполнения арифметических операций.

Законы деления

Прежде чем делить целые числа, необходимо изучить два закона деления.

Прежде всего, давайте вспомним, из чего состоит деление. Деление состоит из трех параметров: делимого, делителя и частного. Например, в выражении 8: 2 = 4, 8 — делимое, 2 — делитель, 4 — частное.

Дивиденд показывает, чем мы делимся. В нашем примере мы делим число 8.

Делитель показывает, на сколько акций нужно разделить дивиденды. В нашем примере делителем является число 2. Этот делитель показывает, на сколько частей нужно разделить делимое 8. То есть во время операции деления число 8 будет разделено на две части.

Частное — это фактический результат операции деления. В нашем примере частное равно 4. Это частное является результатом деления 8 на 2.

Итак, рассмотрим законы деления.

На ноль делить нельзя

запрещено делить любое число на ноль.

Дело в том, что деление противоположно умножению. Эту фразу можно понять в буквальном смысле. Например, если 2 × 5 = 10, то 10: 5 = 2.

Видно, что второе выражение написано в обратном порядке. Если, например, у нас есть два яблока и мы хотим увеличить их в пять раз, то мы пишем 2 × 5 = 10. Получается десять яблок. Итак, если мы хотим уменьшить эти десять яблок до двух, то мы пишем 10: 5 = 2

То же самое можно сделать и с другими выражениями. Если, например, 2 × 6 = 12, то мы можем вернуться к исходному числу 2. Для этого просто напишите выражение 2 × 6 = 12 в обратном порядке, разделив 12 на 6

12: 6 = 2

Давайте теперь рассмотрим выражение 5 × 0. Из законов умножения мы знаем, что произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Таким образом, выражение 5 × 0 равно нулю

5 × 0 = 0

Если мы запишем это выражение в обратном порядке, то получим:

0: 0 = 5

Ответ сразу бросается в глаза — результат деления нуля на ноль. Это невозможно.

В обратном порядке можно написать другое похожее выражение, например 2 × 0 = 0

0: 0 = 2

В первом случае, разделив ноль на ноль, мы получим 5, а во втором случае 2. То есть каждый раз, когда мы делим ноль на ноль, мы можем получить разные значения, а это недопустимо.

Второе объяснение состоит в том, что деление делимого на делитель означает нахождение числа, которое, умноженное на делитель, дает делимое.

Например, выражение 8: 2 означает найти число, которое при умножении на 2 даст 8

… × 2 = 8

Здесь вместо многоточия должно быть число, которое, умноженное на 2, даст ответ 8. Чтобы найти это число, просто напишите это выражение в обратном порядке:

8: 2 = 4

Получилось число 4. Напишем его вместо многоточия:

4 × 2 = 8

Теперь представьте, что вам нужно найти значение выражения 5: 0. В данном случае 5 — это делимое, 0 — делимое. Деление 5 на 0 означает нахождение числа, которое при умножении на 0 дает 5

… × 0 = 5

Здесь вместо эллипса должно быть число, которое, умноженное на 0, даст ответ 5. Но нет числа, которое, умноженное на ноль, дало бы 5.

Выражение… × 0 = 5 противоречит закону умножения на ноль, который гласит, что произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю.

Итак, записывать выражение… × 0 = 5 в обратном порядке, деление 5 на 0 не имеет смысла. Поэтому говорят, что на ноль делить нельзя.

С помощью переменных этот закон записывается следующим образом:

Это выражение можно прочитать так:

Число a можно разделить на число b, если b не равно нулю.

Частная собственность

Этот закон гласит, что если делимое и делитель умножить или разделить на одно и то же число, частное не изменится.

Например, рассмотрим выражение 12: 4. Значение этого выражения равно 3

12: 4 = 3

Попробуем умножить делимое и делитель на одно и то же число, например на число 4. Если мы верим в свойство частного, мы должны снова получить в ответе число 3

(12 × 4) : (4 × 4)

(12 × 4) : (4 × 4) = 48 : 16 = 3

Ответ был 3.

Теперь попробуем не умножать, а делить делимое и делитель на число 4

(12 : 4) : (4 : 4)

(12 : 4) : (4 : 4) = 3 : 1 = 3

Ответ был 3.

Мы видим, что если делимое и делитель умножить или разделить на одно и то же число, частное не изменится.

Мы рассмотрели два закона деления. Итак, подумайте о делении целых чисел.

Порядок вычисления простых выражений

Есть уникальное правило, определяющее порядок действий в выражениях без скобок:

• действия выполняются слева направо
• сначала выполняется умножение и деление, затем сложение и вычитание.

Это правило уточняет, какое действие выполняется в первую очередь. Универсального ответа не существует, нужно разбирать каждый пример и самостоятельно выбирать ход решения.

Что такое первое, умножение или деление? — По порядку слева направо. Первое умножение или сложение? — Умножаем, потом складываем.

Порядок выполнения действий в математике (слева направо) можно объяснить тем, что в нашей культуре принято вести записи слева направо. И необходимость умножать или делить в первую очередь объясняется самой сутью этих операций.

Рассмотрим порядок выполнения арифметических операций в примерах.

Пример 1. Провести расчет: 11-2 + 5.

Как мы решаем:

В нашем выражении нет скобок, нет умножения и деления, поэтому мы выполняем все действия в указанном порядке. Сначала вы вычитаете два из одиннадцати, затем добавляете пять к остатку, и вы получаете четырнадцать.

Вот запись всего решения: 11-2 + 5 = 9 + 5 = 14.

Ответ: 14.

Пример 2. В каком порядке производить вычисления в выражении: 10: 2 * 7: 5?

Как мы рассуждаем:

Чтобы не ошибиться, перечитаем правило для выражений без скобок. У нас есть только умножение и деление, что означает, что мы сохраняем записанный порядок вычислений и считаем последовательно слева направо.

Сначала мы делим десять на два, умножаем результат на семь и делим полученное число на пять.

Вся запись решения выглядит так: 10: 2 * 7: 5 = 5 * 7: 5 = 35: 5 = 7.

Ответ: 7.

Пока новое знакомство не станет привычным, чтобы не путать последовательность действий при вычислении значения выражения, удобно размещать числа над знаками арифметических действий, которые соответствуют порядку их выполнения.

Например, в этой последовательности вы можете решить пример по действиям:

Действия первой и второй ступени

В некоторых учебниках математики можно встретить разделение арифметических операций на действия первого и второго этапов.

• Действия первой фазы называются сложением и вычитанием, а умножение и деление — действиями второй фазы.

В этих условиях правило определения порядка выполнения действий звучит так:

Если в выражении нет скобок, то сначала слева направо выполняются действия второго этапа (умножение и деление), затем действия первого этапа (сложение и вычитание).

Примеры и задачи по математике на сложение и вычитание

Основная задача заданий и примеров по математике для сложения и вычитания в третьем классе — распространять математические знания и идеи, поддерживать и развивать математические знания школьников, стимулировать и мотивировать учащихся к изучению естественных и математических предметов.

Задание 1

Решите уравнения:

Х — 40 = 60

Х + 4 = 61

Х — 16 = 25

Х + 25 = 84

Х — 45 = 251

Х + 56 = 106

Х + 78 = 301

Задание 2

Скобки расставьте так, чтобы ответ выражения в первом случае был 6, а во втором — 2:

12: 2 + 2 • 2 =

Запрос

12: (2 + 2) • 2 = 6

12: (2 + 2 • 2) = 2

Важно! Некоторые условия разработаны таким образом, чтобы у ребенка было логическое мышление. Решая такие задачи, он думает, размышляет, размышляет и находит правильное решение для поставленной задачи.

Задание 3

Преобразуйте в систему измерения и решите выражения:

1 м — 5 дм =

1 м — 5 см =

6 м 5 дм — 8 дм =

5 см + 5 см =

15 см + 5 дм =

3 дм — 6 см =

3 дм 5 см — 15 см =

1 дм 2 см — 3 см =

1 м 6 дм — 8 дм =

Задание 4

Вычтите 15 из каждого выражения в задании, напишите новое выражение и решите его:

7 • 3 =

7 • 6 =

7 • 9 =

8 • 6 =

8 • 4 =

3 • 9 =

4 • 4 =

5 • 7 =

Запрос

Если 7 • 3 = 21, то 21-15 = 6

Задание 5

Решите примеры:

7 • 6 + 7 • 4 =

21: 3 — 6 =

(35–28) • 5 =

(68 — 26): 7 =

7 + (6: 2) =

3–14: 2 =

60 — 63: 7 =

81 — 56: 7 =

50 + 42: 7 =

Задание 6 (задача)

Шесть одинаковых бочек вмещают 24 литра воды. Сколько литров воды в сети одних и тех же бочек, на сколько литров больше во втором случае, чем в первом?

Решение

Для начала выясним, сколько воды попадает в бочку.

Первое действие:

24: 6 = 4 (L) в бочке

Теперь посчитаем, сколько воды в семи одинаковых бочках

Второе действие:

4 • 7 = 28 (L) в сети одинаковых стеблей

Находим ответ на главный вопрос проблемы, на сколько литров больше во втором случае, чем в первом.

Третье действие:

28 — 24 = на 4 (л) во втором случае на столько литров больше, чем в первом

Ответ: во втором случае на 4 литра воды больше, чем в первом

Задание 7

Отец и сын покупали картошку на рынке в 6 одинаковых сетках. Отец принес домой 4 сети, а сын 2. Всего получилось 18 кг картофеля. Сколько килограммов вез ваш отец? Сколько килограммов перевез сын? Сколько лишних фунтов картошки принес отец?

Решение

Считаем, сколько картошки было в сетке, если известно, то везем всего 18 килограммов в 6 одинаковых решетках.

Первое действие:

18: 6 = 3 (кг) в сетке.

Теперь узнаем, сколько килограммов нес отец и сколько килограмм — сын.

Второе действие:

3 • 4 = 12 (кг) на руках у отца

Третье действие:

3 • 2 = 6 (кг) несет сын

Находим нужную разницу.

Четвертое действие:

12 — 6 = 6 (кг) отец привез намного больше.

Ответ: Отец принес на 6 килограммов картошки больше, чем сын.

Задание 8

За 5 часов работы двигателя израсходовано 30 литров бензина. Сколько бензина будет израсходовано за 8 часов работы двигателя. Сколько больше топлива будет использовать двигатель для данного часового пояса?

Решение

Подсчитываем, сколько бензина потребляет двигатель за час своей работы.

Первое действие:

30: 5 = 6 (л) за час работы

Давайте посчитаем, какая разница во времени?

Второе действие:

8-5 = 3 (ч) разница во времени

Теперь вы можете подсчитать, сколько бензина было израсходовано за оставшиеся 3 часа.

Третье действие:

3 • 6 = 18 (л) израсходовано за 3 часа.

Ответ: за 3 часа двигатель израсходовал 18 литров бензина

Второе решение

Подсчитываем, сколько бензина потребляет двигатель за час своей работы.

Первое действие:

30: 5 = 6 (л) за час работы

Подсчитываем, сколько бензина будет израсходовано за 8 часов работы двигателя.

Второе действие:

8 • 6 = 48 (л) израсходовано за 8 часов работы двигателя

Теперь вы можете рассчитать разницу в израсходованном топливе.

Третье действие:

48-30 = 18 (л) разница в расходе топлива

Ответ: за 3 часа двигатель израсходовал 18 литров бензина

Важно! Задачи на сложение и вычитание не исключают в своем условии или решении возможность других математических операций, таких как умножение или деление. Учащийся третьего класса уже должен уметь различать требования сложения и умножения, деления и вычитания в условии. Вот почему домашнее задание по математике в этом классе часто бывает смешанным.

Задание 9

в двух прудах купались 56 уток. Когда из первого пруда во второй перелетело 7 уток, их осталось 25. Сколько уток с самого начала проплыло во втором пруду?

Решение

известно, что после того, как из первого пруда вылетело 7 уток, их осталось 25. С самого начала находим количество уток в первом пруду.

Первое действие:

в первом пруду было 7 + 25 = 32 (утки.

Теперь мы можем узнать, сколько уток с самого начала купалось во втором пруду.

Второе действие:

во втором пруду было 56 — 32 = 24 (утки.

Ответ: Изначально во втором пруду было 24 утки.

Задание 10

С первого куста собрали 9 килограммов ягод. Со второго куста собрали на 3 килограмма больше, чем с первого, а с третьего — на 2 килограмма больше, чем со второго. Сколько килограммов ягод собрано с третьего куста? Сколько всего ягод собрали?

Решение

Для начала выясним, сколько килограммов ягод было собрано со второго куста.

Первое действие:

9 + 3 = 12 (кг) ягод второго куста

Теперь определим, сколько килограммов ягод собрано с третьего куста

Второе действие:

12 + 2 = 14 (кг) года от третьего куста

Когда все составляющие известны, мы находим ответ на главный вопрос проблемы.

Третье действие:

9 + 12 + 14 = 35 (кг) ягод всего

Ответ: Всего собрано 35 килограммов ягод.

Умножение прямо на сайте (онлайн)

*

https://uchim.org/matematika/tablica-umnozheniya — uchim.org

Таблица умножения (числа от 1 до 20)

× 12345678910111213141516171819201

2

3

4

5

6

7

восемь

девять

10

одиннадцать

12

13

14

15

16

17

18

19

ветры

1	2	3	4	5	6	7	восемь	девять	10	одиннадцать	12	13	14	15	16	17	18	19	ветры
2	4	6	восемь	10	12	14	16	18	ветры	22	24	26 год	28 год	тридцать	32	34	36	38	40
3	6	девять	12	15	18	21 год	24	27	тридцать	33	36	39	42	45	48	51	54	57 год	60
4	восемь	12	16	ветры	24	28 год	32	36	40	44 год	48	52	56	60	64	68	72	76	80
5	10	15	ветры	25	тридцать	35 год	40	45	50	55	60	65	70	75	80	85	90	95	100
6	12	18	24	тридцать	36	42	48	54	60	66	72	78	84	90	96	102	108	114	120
7	14	21 год	28 год	35 год	42	49	56	63	70	77	84	91	98	105	112	119	126	133	140
восемь	16	24	32	40	48	56	64	72	80	88	96	104	112	120	128	136	144	152	160
девять	18	27	36	45	54	63	72	81 год	90	99	108	117	126	135	144	153	162	171	180
10	ветры	тридцать	40	50	60	70	80	90	100	110	120	130	140	150	160	170	180	190	200
одиннадцать	22	33	44 год	55	66	77	88	99	110	121	132	143	154	165	176	187	198	209	220
12	24	36	48	60	72	84	96	108	120	132	144	156	168	180	192	204	216	228	240
13	26 год	39	52	65	78	91	104	117	130	143	156	169	182	195	208	221	234	247	260
14	28 год	42	56	70	84	98	112	126	140	154	168	182	196	210	224	238	252	266	280
15	тридцать	45	60	75	90	105	120	135	150	165	180	195	210	225	240	255	270	285	300
16	32	48	64	80	96	112	128	144	160	176	192	208	224	240	256	272	288	304	320
17	34	51	68	85	102	119	136	153	170	187	204	221	238	255	272	289	306	323	340
18	36	54	72	90	108	126	144	162	180	198	216	234	252	270	288	306	324	342	360
19	38	57 год	76	95	114	133	152	171	190	209	228	247	266	285	304	323	342	361	380
ветры	40	60	80	100	120	140	160	180	200	220	240	260	280	300	320	340	360	380	400

Порядок вычислений в выражениях со скобками

Иногда выражения могут содержать круглые скобки, указывающие порядок выполнения математических операций. В этом случае правило работает так:

Сначала выполните действия в скобках, при этом умножение и деление также выполняются слева направо, затем сложение и вычитание.

Выражения в скобках считаются частью исходного выражения. Они соблюдают уже известный нам порядок действий.

Рассмотрим порядок выполнения действий на примерах в скобках.

Пример 1. Вычислить: 10 + (8-2 * 3) * (12-4): 2.

Как правильно решить пример:

Выражение содержит круглые скобки, поэтому сначала мы выполним действия в выражениях, заключенных в эти скобки.

Начнем с первых 8 — 2 * 3. Что идет первым, умножение или вычитание? Мы уже знаем правильный ответ: умножение, затем вычитание. Получается так:

8-2 * 3 = 8-6 = 2.

Перейдем ко второму выражению в скобках 12 — 4. Действует только одно — вычитание, выполняем: 12 — 4 = 8.

Подставляем полученные значения в исходное выражение:

10 + (8-2 * 3) * (12-4): 2 = 10 + 2 * 8: 2.

Порядок действий: умножение, деление и только потом сложение. Получится:

10 + 2 * 8: 2 = 10 + 16: 2 = 10 + 8 = 18.

На этом все действия завершены.

Ответ: 10 + (8-2 * 3) * (12-4): 2 = 18.

Вы можете найти выражения, содержащие круглые скобки в скобках. Для их решения необходимо последовательно применять правило выполнения действий в выражениях в скобках. Удобнее начинать с внутренних скоб и постепенно продвигаться к внешним. Покажем на примере.

Пример 2. Выполните действия в выражении: 9 + (5 + 1 + 4 * (2 + 3)).

Как мы решаем:

Перед нами выражение в скобках. Это означает, что выполнение действий нужно начинать с выражения в скобках, т.е с 5 + 1 + 4 * (2 + 3). Но! Это выражение также содержит круглые скобки, поэтому давайте начнем с действий, которые они содержат:

2 + 3 = 5.

Замените найденное значение: 5 + 1 + 4 * 5. В этом выражении мы сначала производим умножение, а затем сложение:

5 + 1 + 4 * 5 = 5 + 1 + 20 = 26.

Начальное значение после замены примет форму 9 + 26, и все, что останется, это сложить: 9 + 26 = 35.

Ответ: 9 + (5 + 1 + 4 * (2 + 3)) = 35.

Математические действия с нулем

Круглый ноль такой милый
Но это ничего не значит.

В примерах ноль не отображается как число, но может быть результатом некоторого промежуточного действия, например:

5 × (8: 2 — 4) = ?

1. 8: 2 = 4;
2. 4-4 = 0;
3. 5 × 0 = ?

При умножении на 0 правило говорит, что результат всегда будет 0. Почему? Объяснение может быть простым: что такое умножение? Это одно и то же число, добавленное к своему полу несколько раз. Иначе:

0 × 5 = 0 + 0 + 0 + 0 + 0 = 0;

Деление на 0 не имеет смысла, и деление нуля на любое число всегда приведет к 0:

0: 5 = 0.

А как могло быть иначе, когда делить нечего? Если у вас нет яблок, вам не чем поделиться с друзьями.

Потому что нельзя делить на ноль

Вызов других арифметических операций с нулем:

а + 0 = а;

0 + a = a (сумма не меняется от перестановки слагаемых);

а — 0 = а;

0 — a = — a (противоположность вычитаемой).

Вычисления с дробями, степенями и сложными функциями

Это сложные случаи исчисления, которыми не занимаются в начальной школе.

• Долевые акции

Умножить простые дроби между собой несложно, нужно просто умножить числитель на числитель и знаменатель на знаменатель.

Пример:

({{2} выше {5}} × {{3} выше {8}}) = ?

1. 2 × 3 = 6 — числитель
2. 5 × 8 = 40 — знаменатель

({{2} on {5}} × {{3} on {8}} = {{6} on {40}})

После редукции получаем: ({{6} на {40}} ) = ({{3} на {20}}).

Деление на простые дроби не так сложно, как кажется на первый взгляд. Просто переверните задачу — превратите ее в пример с умножением. Это легко сделать: вам нужно перевернуть дробь так, чтобы знаменатель стал числителем, а числитель стал знаменателем.

Пример:

({{2} above {8}} = {{2} above {5}}: {{3} above {5}} ) =? ({{2} выше {8}}: {{3} выше {5}} = {{2} выше {8}} × {{5} выше {3}})

1. 2 × 5 = 10;
2. 8 × 3 = 24.

({{2} выше {8}}: {{3} выше {5}} = {{10} выше {24}} = {{5} выше {12}})

• Доли степеней

Если проблема содержит число, представленное в виде степени, его значение вычисляется раньше всех остальных (вы можете представить, что оно заключено в круглые скобки, а действия, указанные в скобках, выполняются первыми).

Пример:

(5² — 7): 3 = ?

1. 5² = 5 x 5 = 25;
2. 25-7 = 18;
3. 18: 3 = 6.

(5² — 7): 3 = 6.

Преобразование числа, представленного в виде степени, в обычное выражение с помощью действия умножения, решение примера оказалось простым: сначала умножение, затем вычитание (потому что в скобках) и деление.

• Действия с корнями, логарифмами, функциями

Поскольку такие функции изучаются только в контексте старшей школы, мы не будем их рассматривать, достаточно сказать, что они, как и в случае со степенями, имеют приоритет при вычислении: сначала находится значение этого выражения, затем Порядок вычислений обычный: скобки, умножение с делением, затем слева направо.

Да какая разница?

На самом деле так важно — какое действие в примере выполнить первым, а какое — вторым?

• Давайте посмотрим на несколько примеров:

10-5 + 2 = ?

Если выполнить действия по порядку, то получим:

1. 10-5 = 5;
2. 5 + 2 = 7.

Попробуем иначе:

1. 5 + 2 = 7;
2. 10-7 = 3.

Он получил два разных ответа. Но это не обязательно, поэтому порядок действий имеет значение. Также, если выражение содержит круглые скобки:

25 — (18 + 2) = ?

Пробуем решить двумя способами:

1. 25 — 18 + 2 = 9;
2. 25-20 = 5.

Ответы разные, и для определения порядка действий в выражении есть скобки — они показывают, какое действие нужно выполнить в первую очередь. Это значит, что правильным будет следующее решение:

1. 18 + 2 = 20;
2. 25-20 = 5.

У этого примера не должно быть другого решения.

Нравится:

Правило первое: математические операции в выражении выполняются по порядку, начиная слева направо.

Правило второе: если в выражении есть круглые скобки, сначала выполняется действие, указанное в скобках, а затем действия по порядку слева направо.

Что важнее – умножение или сложение?

При решении примеров
Организуйте порядок действий.
Сначала идет умножение или деление.

Для выражений, в которых нет сложения или вычитания, а есть умножение или деление, действует то же правило: все действия с числами выполняются по порядку, начиная слева:

81: 9 х 2 = ?

1. 81: 9 = 9;
2. 9х2 = 18.

Более сложный случай — когда в одной и той же задаче встречаются умножения или деления со сложением или вычитанием. В чем же тогда порядок расчета?

Рассмотрим пример:

8: 2 + 2 = ?

Если вы выполните все шаги по порядку, сначала разделите, а затем сложите. В результате получаем:

1. 8: 2 = 4;
2. 4 + 2 = 6.

Правило третье: если задача требует умножения или деления, они выполняются в первую очередь.

Это означает, что пример был решен правильно. Что делать, если есть скобки?

8: (2 + 2) = ?

1. 2 + 2 = 4;
2. 8: 4 = 2.

То, что указано в скобках, всегда имеет приоритет. Вот почему они выражаются. Поэтому порядок вычислений в таких выражениях будет следующим:

1. Раскроем скобки. Если их несколько, делаем расчеты для каждого.
2. Умножение или деление.
3. Подсчитываем конечный результат, выполняя действия слева направо.

Пример:

81: 9 + (6-2) + 3 = ?

1. 6 — 2 = 4;
2. 81: 9 = 9;
3. 9 + 4 = 13;
4. 13 + 3 = 16.

81: 9 + (6-2) + 3 = 16.

И что будет приоритетом: умножение — или деление, вычитание — или сложение, если в задаче присутствуют оба действия? Ничего, они одинаковые, и тогда действует первое правило: действия выполняются одно за другим, начиная слева.

Алгоритм решения выражения:

1. Разберем задачу: есть скобки, какие математические действия нужно будет выполнить.
2. Расчеты производим в скобках.
3. Делаем умножение и деление.
4. Выполняем сложение и вычитание.

Пример:

28: (11-4) + 18 — (25-8) = ?

Порядок расчета:

1. 11-4 = 7;
2. 25 — 8 = 17;
3. 28: 7 = 4;
4. 4 + 18 = 22;
5. 22-17 = 5.

Ответ: 28: (11-4) + 18 — (25-8) = 5.

Важно! Если выражение содержит буквы, процедура остается прежней.

Умножение целых чисел

Пример 1. Найдите значение выражения −5 × 2

Это умножение чисел с разными знаками. -5 отрицательно, а 2 положительно. Для таких случаев должно применяться следующее правило:

Чтобы умножать числа с разными знаками, нужно умножить их модули и поставить перед ответом минус.

−5 × 2 = — (| −5 | × | 2 |) = — (5 × 2) = — (10) = −10

Обычно пишут короче: -5 × 2 = -10

Любое умножение можно представить в виде суммы чисел. Например, рассмотрим выражение 2 × 3. Оно равно 6.

2 × 3 = 6

Коэффициент в этом выражении — число 3. Этот коэффициент показывает, во сколько раз нужно увеличить два. Но выражение 2 × 3 также можно понимать как сумму трех двоек:

То же самое происходит с выражением -5 × 2. Это выражение можно представить как сумму

И выражение (-5) + (-5) равно -10. Мы знаем это из прошлого урока. Это сложение отрицательных чисел. Помните, что результатом сложения отрицательных чисел является отрицательное число.

Пример 2. Найдите значение выражения 12 × (−5)

Это умножение чисел с разными знаками. 12 — положительное число, (-5) — отрицательное. Еще раз применяем предыдущее правило. Умножаем модули чисел и ставим минус перед полученным ответом:

12 × (−5) = — (| 12 | × | -5 |) = — (12 × 5) = — (60) = −60

Обычно решение пишется короче:

12 × (−5) = −60

Пример 3. Найдите значение выражения 10 × (−4) × 2

Это выражение складывается из нескольких факторов. Сначала мы умножаем 10 и (−4), затем умножаем полученное число на 2. Попутно применяем правила, изученные ранее:

Первое действие:

10 × (−4) = — (| 10 | × | −4 |) = — (10 × 4) = (−40) = −40

Второе действие:

−40 × 2 = — (| −40 | × | 2 |) = — (40 × 2) = — (80) = −80

Таким образом, значение выражения 10 × (−4) × 2 равно −80

Напишем кратчайшее решение:

10 × (−4) × 2 = −40 × 2 = −80

Пример 4. Найдите значение выражения (-4) × (-2)

Это умножение отрицательных чисел. В таких случаях должно применяться следующее правило:

Для умножения отрицательных чисел нужно умножить их модули и поставить перед полученным ответом плюс

(−4) × (−2) = | −4 | × | -2 | = 4 × 2 = 8

Также по традиции мы его не пишем, поэтому пишем только ответ 8.

Запишем более короткое решение (−4) × (−2) = 8

Возникает вопрос, почему, умножая отрицательные числа, вы внезапно получаете положительное число. Попробуем доказать, что (-4) × (-2) равно 8 и больше ничего.

Сначала напишем следующее выражение:

4 × (-2)

Заключим его в скобки:

(4 × (-2))

Добавим к этому выражению наше выражение (-4) × (-2). Мы также заключаем его в круглые скобки:

(4 × (-2)) + ((-4) × (-2))

Приравниваем все это к нулю:

(4 × (-2)) + ((-4) × (-2)) = 0

Теперь начинается самое интересное. Суть в том, что нам нужно вычислить левую часть этого выражения и в результате мы получим 0.

Итак, первое произведение (4 × (-2)) равно -8. Пишем в нашем выражении число -8 вместо произведения (4 × (-2))

−8 + ((−4) × (−2)) = 0

Теперь вместо второй части временно ставим эллипс

−8 +… = 0

Теперь давайте подробнее рассмотрим выражение −8 +… = 0. Какое число должно быть вместо многоточия, чтобы гарантировать равенство? Ответ напрашивается сам собой. Вместо эллипса должно быть положительное число 8 и никакое другое. Только так будет соблюдаться равенство. В конце концов, -8 + 8 равно 0.

Вернемся к выражению -8 + ((-4) × (-2)) = 0 и вместо произведения ((-4) × (-2)) напишем число 8

−8 + 8 = 0

Пример 5. Найдите значение выражения -2 × (6 + 4)

Применяем закон распределения умножения, то есть умножаем число -2 на каждый член суммы (6 + 4)

-2 × (6 + 4) = -2 × 6 + (-2) × 4

Теперь сделаем умножение и сложим результаты. Попутно мы будем применять правила, изученные ранее. Можно пропустить запись с формами, чтобы не загромождать выражение

Первое действие:

−2 × 6 = −12

Второе действие:

−2 × 4 = −8

Третье действие:

-12 + (-8) = -20

Таким образом, значение выражения −2 × (6 + 4) равно −20

Напишем кратчайшее решение:

−2 × (6 + 4) = (−12) + (−8) = −20

Пример 6. Найдите значение выражения (-2) × (-3) × (-4)

Выражение складывается из нескольких факторов. Сначала умножьте числа -2 и -3 и умножьте полученное произведение на оставшееся число -4. Пропускаем запись с формами, чтобы не загромождать выражение

Первое действие:

(−2) × (−3) = 6

Второе действие:

6 × (−4) = — (6 × 4) = −24

Таким образом, значение выражения (−2) × (−3) × (−4) равно −24

Напишем кратчайшее решение:

(−2) × (−3) × (−4) = 6 × (−4) = −24

Умножение и деление на единицу

Математические операции с 1 отличаются от операций с нулем. Когда вы умножаете или делите число на 1, вы получаете исходное число:

7 × 1 = 7;

7: 1 = 7.

Конечно, если у вас есть 7 друзей, и каждый дал вам конфету, у вас будет 7 конфет, а если вы ели их в одиночку, то есть делились только с собой, то все они оказались в вашем желудке.